Flashcard FC241212
Para um cilindro circular reto fechado com área total fixa A_t, qual a condição sobre o raio r que maximiza o volume?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Para um cilindro circular reto fechado com área total fixa A_t, qual a condição sobre o raio r que maximiza o volume?
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Resposta
r^2=\dfrac{A_t}{6\pi} (logo \(r=\sqrt{\dfrac{A_t}{6\pi}}\)).Explicação:
Da área total: \(A_t=2\pi r^2+2\pi r h\) vem \(h=\dfrac{A_t}{2\pi r}-r\).
Volume: \(V=\pi r^2h=\dfrac{A_t}{2}r-\pi r^3\).
Derivando: \(V'=\dfrac{A_t}{2}-3\pi r^2\). Igualando a zero: \(r^2=\dfrac{A_t}{6\pi}\).
Como \(V''=-6\pi r<0\), é máximo.
Exemplo:
Se \(A_t=72\pi\):
\(r^2=\dfrac{72\pi}{6\pi}=12\Rightarrow r=2\sqrt3\).
\(h=\dfrac{A_t}{2\pi r}-r=\dfrac{72\pi}{2\pi\cdot2\sqrt3}-2\sqrt3=\dfrac{36}{2\sqrt3}-2\sqrt3=4\sqrt3\).
Volume máximo: \(V=\pi r^2h=\pi\cdot12\cdot4\sqrt3=48\pi\sqrt3\).
Veja como foi cobrado:
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