Qual é o valor de \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta(t-a)\,dt \) quando \(f\) é contínua em \(a\)?

\(f(a)\)

Explicação:
A função delta de Dirac possui a propriedade de amostragem: concentra toda a massa em \(t=a\) e, ao integrar sobre toda a reta, seleciona o valor de \(f\) nesse ponto, desde que \(f\) seja contínua em \(a\).

Exemplo:
Calcule \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} (2t+1)\,\delta\!\left(t-\tfrac{1}{2}\right)\,dt \).
Aplicando a propriedade: \( (2t+1)\) avaliado em \(t=\tfrac{1}{2}\) dá \(2\cdot\tfrac{1}{2}+1=2\).
Logo a integral vale \(2\).