Flashcard FC241217
Como se obtêm os coeficientes \(a_0,a_n,b_n\) de uma série de Fourier \(2\pi\)-periódica por integrais, e que simetrias fazem \(a_n\) ou \(b_n\) serem nulos?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Como se obtêm os coeficientes \(a_0,a_n,b_n\) de uma série de Fourier \(2\pi\)-periódica por integrais, e que simetrias fazem \(a_n\) ou \(b_n\) serem nulos?
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Resposta
Pela definição por integrais:
a0: \(a_0=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx\)
an: \(a_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\)
bn: \(b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\)
Simetrias: se \(f\) é par então \(b_n=0\); se \(f\) é ímpar então \(a_n=0\) e \(a_0=0\).
a0: \(a_0=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx\)
an: \(a_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\)
bn: \(b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\)
Simetrias: se \(f\) é par então \(b_n=0\); se \(f\) é ímpar então \(a_n=0\) e \(a_0=0\).
Exemplo:
Considere \(f(x)=\begin{cases}1,&0 Calcula-se \(a_0=0\) (por imparidade) e \(a_n=0\).
Para \(b_n\):\(
b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx =\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx =\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{1-(-1)^n}{n}.\)
Logo, para \(n\) ímpar \(b_n=\dfrac{4}{\pi n}\) e para \(n\) par \(b_n=0\).
A série fica \( \displaystyle f(x)\sim \dfrac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}\).
Considere \(f(x)=\begin{cases}1,&0 Calcula-se \(a_0=0\) (por imparidade) e \(a_n=0\).
Para \(b_n\):\(
b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx =\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx =\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{1-(-1)^n}{n}.\)
Logo, para \(n\) ímpar \(b_n=\dfrac{4}{\pi n}\) e para \(n\) par \(b_n=0\).
A série fica \( \displaystyle f(x)\sim \dfrac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/236033
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