Flashcard FC241218
Qual é a transformada de Fourier de um pulso retangular (amplitude A, suporte simétrico [-a,a]) em termos da função sinc?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Qual é a transformada de Fourier de um pulso retangular (amplitude A, suporte simétrico [-a,a]) em termos da função sinc?
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Resposta
\( \mathcal{F}\{A\mathbf{1}_{[-a,a]}(t)\}(w)=A\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\dfrac{\sin(aw)}{w}\)Explicação:
Usa-se \( \mathcal{F}\{f\}(w)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-a}^{a}A e^{-iwt}\,dt\).
Integrando: \( \dfrac{A}{\sqrt{2\pi}}\cdot\dfrac{e^{-iwt}}{-iw}\Big|_{-a}^{a}=\dfrac{A}{\sqrt{2\pi}}\cdot\dfrac{e^{iwa}-e^{-iwa}}{iw}=\dfrac{A}{\sqrt{2\pi}}\cdot\dfrac{2\sin(aw)}{w}=A\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\dfrac{\sin(aw)}{w}.\)
Exemplo:
Considere \(g(t)=\mathbf{1}_{[0,T]}(t)\). Então
\( \mathcal{F}\{g\}(w)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{T}e^{-iwt}dt=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\dfrac{1-e^{-iwT}}{iw}\)
Reescrevendo com fator de fase: \( \mathcal{F}\{g\}(w)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i wT/2}\dfrac{2\sin(wT/2)}{w}= \sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,e^{-i wT/2}\dfrac{\sin(wT/2)}{w}.\)
Observe que surge a envoltória sinc \(\sin(wT/2)/(wT/2)\) multiplicada por uma fase devido ao deslocamento.
Veja como foi cobrado:
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