Se f(t) é real, par e absolutamente integrável, que propriedades têm sua transformada de Fourier Tf(ω) quanto à parte real e à simetria?

Tf(ω) é real e par (Tf(-ω)=Tf(ω)).

Explicação:
Decompondo \(Tf(ω)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iωt}\,dt=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos(ωt)\,dt - i\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin(ωt)\,dt\).
Como f(t)cos(ωt) é par, sua integral é real; como f(t)sin(ωt) é ímpar, sua integral é zero. Assim \(Tf(ω)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos(ωt)\,dt\), que é real e, por simetria em ω, par.

Exemplo:
Se \(f(t)=e^{-|t|}\) (real, par e integrável), então
\(Tf(ω)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|t|}e^{-iωt}\,dt=2\int_{0}^{\infty}e^{-t}\cos(ωt)\,dt=2\cdot\frac{1}{1+ω^{2}}=\frac{2}{1+ω^{2}}\),
que é claramente real e par.