O que representa o limite \(\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)?

Resposta

É a derivada de f no ponto a.

Explicação:
O limite dado define a taxa de variação instantânea de \(f\) em \(a\), isto é, \(f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\).
Para polinômios pode-se usar a regra da potência para obter \(f'(x)\) e então avaliar em \(x=a\).

exemplo:
Se \(f(x)=x^2+3x\), então \(f'(x)=2x+3\).
Calculando em \(x=1\) pela regra: \(f'(1)=2\cdot1+3=5\).
Pelo limite: \(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^2+3(1+h)-4}{h} =\lim_{h\to0}\frac{5h+h^2}{h}=\lim_{h\to0}(5+h)=5\).