Como determinar o ponto que maximiza uma função A(x) usando cálculo diferencial?

Derive A(x), resolva \(A'(x)=0\) e confirme máximo com \(A''(x)<0\).

Exemplo:
Considere uma função da qual a altura é \(y=4-x^2\) e a base do retângulo é \(2x\).
Área: \(A(x)=2x(4-x^2)=8x-2x^3\).
Derivando: \(A'(x)=8-6x^2\).
Igualando a zero: \(8-6x^2=0\Rightarrow x^2=\tfrac{4}{3}\Rightarrow x=\tfrac{2}{\sqrt3}\) (escolhendo \(x>0\)).
Segunda derivada: \(A''(x)=-12x\), que em \(x=\tfrac{2}{\sqrt3}\) é negativa, confirmando máximo.
Altura no ponto: \(4-x^2=4-\tfrac{4}{3}=\tfrac{8}{3}\).
Área máxima: \(A=2\cdot\tfrac{2}{\sqrt3}\cdot\tfrac{8}{3}=\dfrac{32}{3\sqrt3}\approx6{,}158\).