Como se recupera a função f(x) a partir de f''(x) usando condições iniciais?

Integrando f''(x) duas vezes, introduzindo constantes de integração e determinando-as pelas condições dadas.

Explicação:
1) Integrar \(f''(x)\) para obter \(f'(x)=\int f''(x)\,dx + C_1\).
2) Integrar \(f'(x)\) para obter \(f(x)=\int f'(x)\,dx + C_1x + C_2\).
3) Usar as condições fornecidas para resolver \(C_1\) e \(C_2\) e obter \(f(x)\).

Exemplo:
Se \(f''(x)=6x\).
Então \(f'(x)=\int 6x\,dx=3x^2+C_1\).
Logo \(f(x)=\int(3x^2+C_1)\,dx=x^3+C_1x+C_2\).
Suponha as condições \(f(1)=5\) e \(f'(0)=2\).
De \(f'(0)=2\) vem \(C_1=2\).
De \(f(1)=5\): \(1+2+C_2=5\) → \(C_2=2\).
Portanto \(f(x)=x^3+2x+2\).
Como verificação, \(f(2)=2^3+2\cdot2+2=8+4+2=14\).