Se T: V → W é linear com dim V = n e dim(Im T) = r, qual é dim(ker T)?

dim(ker T) = n - r

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem: \( \, \dim V = \dim(\ker T)+\dim(\mathrm{Im}\,T)\,\).
Assim \( \dim(\ker T)=n-r\).

Exemplo:
Considere T: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^4 cuja imagem é gerada por
\(v_1=(1,0,0,0),\; v_2=(0,1,0,0),\; v_3=(0,0,1,0)\).
Como \(v_1,v_2,v_3\) são linearmente independentes, \(\dim(\mathrm{Im}\,T)=3\).
Logo \(\dim(\ker T)=5-3=2\).