Como se obtém a matriz de uma transformação linear em relação à base canônica a partir das imagens dos vetores da base?

As colunas da matriz são as imagens dos vetores da base canônica: \(T(1,0)\) e \(T(0,1)\).

Pela linearidade, \(T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1)\). Se \(T(1,0)=(a,b)\) e \(T(0,1)=(c,d)\), então a matriz na base canônica é \(\begin{bmatrix}a & c \\ b & d\end{bmatrix}\).

Exemplo: Seja \(T\) tal que \(T(1,0)=(2,1)\) e \(T(0,1)=(0,3)\). Então a matriz é \(\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 1 & 3\end{bmatrix}\) e, para \((x,y)\), \(T(x,y)=x(2,1)+y(0,3)=(2x,\;x+3y)\).