Flashcard FC241229
Se um vetor (x,y,z) satisfaz a equação linear homogênea \(ax+by+cz=0\), o que se pode afirmar sobre sua relação com o vetor \((a,b,c)\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Se um vetor (x,y,z) satisfaz a equação linear homogênea \(ax+by+cz=0\), o que se pode afirmar sobre sua relação com o vetor \((a,b,c)\)?
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Resposta
Todo vetor solução é ortogonal ao vetor \((a,b,c)\).Explicação:
Se \((x,y,z)\) satisfaz \(ax+by+cz=0\), isso é exatamente o produto escalar \((a,b,c)\cdot(x,y,z)=0\), logo os vetores são ortogonais.
Exemplo:
Considere a equação \(3x-2y+z=0\). Uma forma geral de escrever as soluções é tomar parâmetros \(y=r,\;z=s\) e obter
\(\displaystyle (x,y,z)=\Big(\frac{2r-s}{3},\,r,\,s\Big)\).
Verifique o produto escalar com \((3,-2,1)\):
\(\displaystyle (3,-2,1)\cdot\Big(\frac{2r-s}{3},r,s\Big)=3\cdot\frac{2r-s}{3}-2r+1\cdot s=(2r-s)-2r+s=0.\)
Por exemplo, para \(r=1,s=2\) temos \((x,y,z)=(0,1,2)\) e \((3,-2,1)\cdot(0,1,2)=0\), confirmando a ortogonalidade.
Veja como foi cobrado:
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