Como se atualizam os limites e o diferencial ao aplicar a substituição u = g(x) em uma integral definida?

Substitua \(u=g(x)\), calcule \(du=g'(x)\,dx\) (logo \(dx=\dfrac{du}{g'(x)}\)) e troque os limites por \(u_a=g(a)\), \(u_b=g(b)\).

Ao aplicar em \( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx\): substitua \(x\) por \(u\) em \(f\), substitua \(dx\) por \(\dfrac{du}{g'(x)}\) e avalie com os novos limites \(u_a,u_b\).

exemplo:
\( \displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx\)\,
Faça \(u=x^{2}\Rightarrow du=2x\,dx\) (portanto \(x\,dx=\tfrac{du}{2}\)) e os limites: \(u(0)=0,\ u(1)=1\).
Assim \( \displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x^{2}}\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \tfrac{1}{2}(e-1).\)