Flashcard FC241231
Se f é diferenciável em 0, qual o valor de \(\lim_{x\to0}\dfrac{f(ax)-f(0)}{x}\) em função de \(a\) e \(f'(0)\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Se f é diferenciável em 0, qual o valor de \(\lim_{x\to0}\dfrac{f(ax)-f(0)}{x}\) em função de \(a\) e \(f'(0)\)?
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Resposta
a·f'(0)Como \(f\) é diferenciável em 0, faça \(t=ax\). Então
\(\displaystyle \frac{f(ax)-f(0)}{x}=a\cdot\frac{f(t)-f(0)}{t}\) com \(t\to0\),
logo o limite vale \(a\cdot f'(0)\).
Exemplo:
Se \(f(x)=e^{x}\) e \(a=4\), então \(f'(x)=e^{x}\) e \(f'(0)=1\).
Portanto \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{4x}-1}{x}=4\cdot 1=4\).
Veja como foi cobrado:
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