Como usar as primeiras e segundas derivadas para identificar um ponto crítico como mínimo local e como verificar se é mínimo global no intervalo?

Use \(f'(x)=0\) para achar pontos críticos; se \(f''(x)>0\) no ponto então é mínimo local. Para mínimo global num intervalo, compare os valores de \(f\) nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.

Aplicação e justificativa:
– Primeiro, calcule \(f'(x)\) e resolva \(f'(x)=0\) para obter candidatos a extremos.
– Em cada candidato \(x_0\), calcule \(f''(x_0)\): se \(f''(x_0)>0\) então \(x_0\) é mínimo local; se \(f''(x_0)<0\) é máximo local; se \(f''(x_0)=0\) o teste é inconclusivo.
– Para determinar o mínimo global em um intervalo fechado \([a,b]\), avalie \(f\) em todos os candidatos internos e em \(a\) e \(b\); o menor valor determina o mínimo global.

exemplo: Considere \(f(x)=(x-1)^2+2\) em \([0,3]\).
\(f'(x)=2(x-1)\Rightarrow f'(x)=0\) em \(x=1\).
\(f''(x)=2>0\), logo \(x=1\) é mínimo local.
Avalie: \(f(1)=2\), \(f(0)=3\), \(f(3)=6\).
Como \(f(1)\) é o menor, \(x=1\) é também o mínimo global em \([0,3]\).