Como montar a integral em y para calcular a área entre duas curvas?

Escolha as funções x como funções de y, identifique a esquerda e a direita e os limites pelas interseções em y; \(A=\int_{y_1}^{y_2}\big(x_{dir}(y)-x_{esq}(y)\big)\,dy\).

Explicação:
1) Escreva ambas as curvas como \(x=f(y)\).
2) Resolva as interseções para obter \(y_1,y_2\).
3) Para \(y\in[y_1,y_2]\) determine qual \(x\) é a fronteira direita e qual é a esquerda.
4) Calcule \(A=\int_{y_1}^{y_2}(x_{dir}(y)-x_{esq}(y))\,dy\).

Exemplo:
Considere \(x=y^2\) e \(x=2-y\).
Intersecções: \(y^2=2-y\Rightarrow y^2+y-2=0\Rightarrow y=-2,1\).
Para \(y\in[-2,1]\): \(x_{esq}=y^2,\;x_{dir}=2-y\).
Então
\(A=\int_{-2}^{1}\big((2-y)-y^2\big)\,dy=\int_{-2}^{1}(2-y-y^2)\,dy\).
Integrando:
\(\left[2y-\tfrac{y^2}{2}-\tfrac{y^3}{3}\right]_{-2}^{1}=\tfrac{9}{2}.\)