Como se obtém a matriz (na base canônica) da transformação linear T: R^3 → R^3 definida por T(u) = a × u em função das componentes de a?

\(\displaystyle \begin{bmatrix}0 & -a_3 & a_2\\[4pt] a_3 & 0 & -a_1\\[4pt] -a_2 & a_1 & 0\end{bmatrix}\)

Explicação:
A fórmula das componentes do produto vetorial é \(a\times (x,y,z)=(a_2z-a_3y,\;a_3x-a_1z,\;a_1y-a_2x)\).
Montando a matriz que, multiplicada por \(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\), reproduce essas componentes, obtém-se a matriz antissimétrica indicada acima.

Exemplo:
Se \(a=(2,-1,3)\) então \(a_1=2,a_2=-1,a_3=3\) e a matriz é
\(\displaystyle \begin{bmatrix}0 & -3 & -1\\[4pt] 3 & 0 & -2\\[4pt] 1 & 2 & 0\end{bmatrix}\).
Assim, para \(u=(x,y,z)\):
\(\displaystyle \begin{bmatrix}0 & -3 & -1\\[4pt] 3 & 0 & -2\\[4pt] 1 & 2 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3y-z\\[4pt] 3x-2z\\[4pt] x+2y\end{bmatrix}\), que coincide com \(a\times (x,y,z)\).