Como se calcula \(\int_C F\cdot dr\) por parametrização e quando ela é nula por simetria?

Parametriza-se \(C\) por \(r(t)\) e calcula-se \(\int_a^b F(r(t))\cdot r'(t)\,dt\). Se o integrando for ímpar em um intervalo simétrico \([-a,a]\), a integral vale 0.

Explicação:
Parametrize \(C\) por \(r(t)\) com \(t\in[-a,a]\). Calcule \(F(r(t))\) e \(r'(t)\) e forme o produto escalar \(g(t)=F(r(t))\cdot r'(t)\). Se \(g(-t)=-g(t)\) (função ímpar), então \(\int_{-a}^{a} g(t)\,dt=0\).

exemplo:
Considere \(r(t)=(t^3,t),\ t\in[-2,2]\) e \(F(x,y)=(y,0)\).
\(r'(t)=(3t^2,1)\).
\(F(r(t))=(t,0)\).
\(F(r(t))\cdot r'(t)=t\cdot 3t^2=3t^3\) (função ímpar).
Portanto \(\displaystyle\int_{-2}^{2}3t^3\,dt=0\), logo \(\int_C F\cdot dr=0\).