Flashcard FC241242
Como o Teorema de Stokes transforma o fluxo do rotacional sobre uma superfície na circulação do campo ao longo de sua fronteira considerando a orientação?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Como o Teorema de Stokes transforma o fluxo do rotacional sobre uma superfície na circulação do campo ao longo de sua fronteira considerando a orientação?
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Resposta
Fluxo do rotacional sobre S = circulação de F na fronteira ∂S, com orientação compatível pela regra da mão direita.O Teorema de Stokes estabelece \( \iint_S (\nabla\times\vec F)\cdot\hat N\,dS=\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r\).
Escolha a orientação de \(\hat N\) e parametrize a curva \(\partial S\) de modo compatível (regra da mão direita).
Então calcule \(\vec r'(t)\), avalie \(\vec F(\vec r(t))\), faça o produto escalar \(\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r'(t)\) e integre no intervalo de parametrização; o sinal depende da orientação escolhida.
exemplo
Considere \(S\) o disco unitário no plano \(z=0\) com \(\hat N=\mathbf{k}\) e \(\vec F(x,y,z)=(-y,x,0)\).
Calcule \(\nabla\times\vec F=(0,0,2)\).
Fluxo do rotacional: \(\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot\hat N\,dS=\iint_D 2\,dA=2\cdot\text{Área}(D)=2\pi\).
Parametrizando a fronteira \(\vec r(t)=(\cos t,\sin t,0),\;0\le t\le2\pi\):
\(\vec r'(t)=(-\sin t,\cos t,0)\), \(\vec F(\vec r(t))=(-\sin t,\cos t,0)\).
\(\vec F\cdot\vec r'=\sin^2t+\cos^2t=1\).
Circulação: \(\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi\), igual ao fluxo, como previsto por Stokes.
Veja como foi cobrado:
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