Flashcard FC241243
Qual substituição usar e qual o resultado da integral \( \displaystyle\int \frac{dx}{ax+b}\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Qual substituição usar e qual o resultado da integral \( \displaystyle\int \frac{dx}{ax+b}\)?
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Resposta
\(\displaystyle \int \frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C\)Explicação e exemplo:
Use a substituição u = ax+b, então du = a\,dx e dx = du/a.
Substituindo: \(\displaystyle \int \frac{dx}{ax+b}=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{a}=\frac{1}{a}\ln|u|+C=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C\).
Exemplo:
Calcular \(\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{3x+2}\).
Seja \(u=3x+2\Rightarrow du=3dx,\ dx=\frac{du}{3}\).
Limites: \(x=0\Rightarrow u=2\), \(x=1\Rightarrow u=5\).
\(\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{3x+2}=\frac{1}{3}\int_{2}^{5}\frac{du}{u}=\frac{1}{3}\big(\ln 5-\ln 2\big).\)
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