Flashcard FC241245
Qual o procedimento para aproximar uma integral usando o polinômio de Taylor de uma função e integrar termo a termo?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Qual o procedimento para aproximar uma integral usando o polinômio de Taylor de uma função e integrar termo a termo?
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Resposta
Expandir em série de Taylor até a ordem desejada, truncar (desprezando o resto) e integrar cada termo separadamente no intervalo.Explicação:
1) Obter o polinômio de Taylor de \(f(x)\) centrado no ponto apropriado (ex.: 0).
2) Fazer substituições necessárias (por exemplo, \(x=-t^2\) ou \(u=g(t)\)).
3) Truncar a série até a ordem escolhida e desprezar o resto (avaliar erro se necessário).
4) Integrar termo a termo no intervalo dado.
Exemplo:
Approxime \(\int_{0}^{a}\cos(t^2)\,dt\) usando termos até a ordem \(t^8\).
Use a série \(\cos u=1-\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^4}{24}+\cdots\). Substitua \(u=t^2\):
\(\cos(t^2)\approx 1-\dfrac{t^4}{2}+\dfrac{t^8}{24}\).
Integrando termo a termo:
\(\displaystyle \int_{0}^{a}\cos(t^2)\,dt\approx \int_{0}^{a}\left(1-\dfrac{t^4}{2}+\dfrac{t^8}{24}\right)dt\)
\(\displaystyle =a-\dfrac{a^5}{10}+\dfrac{a^9}{216}\), desprezando o resto da série.
Veja como foi cobrado:
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