Qual é o valor de \(\lim_{x\to 0}(1+ax)^{b/x}\) para constantes \(a,b\)?

Resposta

\(e^{ab}\)

Tomando logaritmo: seja \(L=\lim_{x\to0}(1+ax)^{b/x}\). Então
\(\ln L=\lim_{x\to0}\dfrac{b\ln(1+ax)}{x}=b\cdot a\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+ax)}{ax}=ab\), pois \(\lim_{u\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1\).
Logo \(L=e^{ab}\).

exemplo:
Calcule \(\lim_{x\to0}(1+2x)^{5/x}\).
Seja \(L=\lim_{x\to0}(1+2x)^{5/x}\). Então
\(\ln L=\lim_{x\to0}\dfrac{5\ln(1+2x)}{x}=5\cdot2\cdot\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+2x)}{2x}=10\).
Portanto \(L=e^{10}\).