Flashcard FC241249
Como se obtém a solução geral de uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes quando a equação característica tem raízes puramente imaginárias?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Como se obtém a solução geral de uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes quando a equação característica tem raízes puramente imaginárias?
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Resposta
Obtém‑se uma combinação linear de cosseno e seno cuja frequência é a parte imaginária.Explicação:
Para uma equação \(x''+ \omega^2 x=0\) a equação característica é \(r^2+\omega^2=0\), com raízes \(r=\pm i\omega\).
Assim, a solução geral é \(x(t)=C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)\).
Aplicando condições iniciais \(x(0)=x_0\) e \(x'(0)=v_0\) obtém‑se \(C_1=x_0\) e \(C_2=\dfrac{v_0}{\omega}\).
exemplo:
Considere \(x''+9x=0\) com \(x(0)=2\) e \(x'(0)=-3\). Aqui \(\omega=3\).
Logo \(x(t)=C_1\cos3t+C_2\sin3t\), com \(C_1=2\) e \(C_2=\dfrac{-3}{3}=-1\).
Portanto \(x(t)=2\cos3t-\sin3t\).
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