Como se determina a abscissa x que minimiza a distância do ponto (x,g(x)) a uma reta ax+by+c=0?

Calcule \(h(x)=a x + b\,g(x)+c\) e minimize \(|h(x)|\); se \(h(x)=p x^2+q x+r\) use o vértice \(x_v=-\dfrac{q}{2p}\) (max ou min conforme o sinal de \(p\)).

Explicação:
A distância é \(d=\dfrac{|a x+b\,g(x)+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|h(x)|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Como o denominador é constante, minimizar \(d\) equivale a minimizar \(|h(x)|\).
Se \(h\) tiver sinal fixo em todo o domínio, então \(|h|=h\) ou \(|h|=-h\), e o problema reduz-se a minimizar ou maximizar \(h\).
Se \(h\) for quadrática \(h(x)=p x^2+q x+r\), a extremização ocorre no vértice \(x_v=-\dfrac{q}{2p}\).

Exemplo:
Considere a curva \(y=-x^2\) e a reta \(4x+y-5=0\) (ou \(y=5-4x\)).
Para pontos \((x,-x^2)\): \(h(x)=4x+(-x^2)-5=-x^2+4x-5\).
Temos \(p=-1,\;q=4\) e \(\Delta=4^2-4(-1)(-5)=16-20=-4<0\), então \(h(x)<0\) para todo \(x\) e \(|h|=-h\).
Logo minimizar \(|h|\) equivale a maximizar \(h\), cujo vértice é
\(x_v=-\dfrac{q}{2p}=-\dfrac{4}{2(-1)}=2\).
Portanto a abscissa que minimiza a distância é \(x=2\).