Flashcard FC241251
Como obter os coeficientes \(a_k\) da série de Fourier complexa a partir de termos \(\sin(n\Omega_0 t)\) e \(\cos(n\Omega_0 t+\phi)\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Como obter os coeficientes \(a_k\) da série de Fourier complexa a partir de termos \(\sin(n\Omega_0 t)\) e \(\cos(n\Omega_0 t+\phi)\)?
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Resposta
Usando as identidades exponenciais:\(\sin(\omega t)=\dfrac{e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2i}\), \(\cos(\omega t+\phi)=\dfrac{e^{i(\omega t+\phi)}+e^{-i(\omega t+\phi)}}{2}\).
Explicação e procedimento:
1) Substitua cada seno/cosseno por exponenciais.
2) Identifique termos \(e^{ik\Omega_0 t}\); o coeficiente multiplicativo é \(a_k\).
3) Some contribuições de diferentes termos se tiverem o mesmo índice \(k\).
exemplo:
Considere \(x(t)=2\cos(3\Omega_0 t-\tfrac{\pi}{4})+0.5\sin(\Omega_0 t)\).
Usando as identidades:
\(2\cos(3\Omega_0 t-\tfrac{\pi}{4})=2\cdot\dfrac{e^{i(3\Omega_0 t-\pi/4)}+e^{-i(3\Omega_0 t-\pi/4)}}{2}=e^{-i\pi/4}e^{i3\Omega_0 t}+e^{i\pi/4}e^{-i3\Omega_0 t}\)
Logo \(a_{3}=e^{-i\pi/4},\; a_{-3}=e^{i\pi/4}\).
E \(0.5\sin(\Omega_0 t)=0.5\cdot\dfrac{e^{i\Omega_0 t}-e^{-i\Omega_0 t}}{2i}=\dfrac{1}{4i}e^{i\Omega_0 t}-\dfrac{1}{4i}e^{-i\Omega_0 t}\)
Logo \(a_{1}=\dfrac{1}{4i}=-\dfrac{i}{4},\; a_{-1}=-\dfrac{1}{4i}=\dfrac{i}{4}\).
Demais \(a_k=0\) se não houver termos correspondentes.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/236067
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