Flashcard FC241253
Qual substituição é apropriada para integrar funções que contêm √(at+b) e qual o próximo passo após a substituição?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Qual substituição é apropriada para integrar funções que contêm √(at+b) e qual o próximo passo após a substituição?
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Resposta
Substitua \(u = at+b\), então \(dt = du/a\); reescreva toda a integranda em \(u\), transforme em potências e integre.Explicação:
Passos: fazer \(u = at+b\), substituir \(dt\), expressar a variável original em \(u\) se houver no numerador, simplificar para somas de potências \(u^{p}\) e aplicar a integração de potências.
Exemplo:
Calcule \( \displaystyle\int \frac{x-2}{\sqrt{3x+1}}\,dx\).
Faça \(u=3x+1\Rightarrow dx=\dfrac{du}{3}\) e \(x=\dfrac{u-1}{3}\).
Então \(x-2=\dfrac{u-1}{3}-2=\dfrac{u-7}{3}\) e
\(\displaystyle\int \frac{x-2}{\sqrt{3x+1}}\,dx=\int \frac{\tfrac{u-7}{3}}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{3}=\frac{1}{9}\int\frac{u-7}{u^{1/2}}\,du\).
Assim \(\frac{1}{9}\int\big(u^{1/2}-7u^{-1/2}\big)\,du=\frac{1}{9}\left(\frac{2}{3}u^{3/2}-14u^{1/2}\right)+C\).
Voltando: \(\displaystyle \frac{2}{27}(3x+1)^{3/2}-\frac{14}{9}(3x+1)^{1/2}+C\).
Veja como foi cobrado:
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