Qual é a transformada inversa de Fourier de um impulso deslocado \(\alpha\delta(\Omega-\Omega_0)\) e de um par simétrico \(\beta[\delta(\Omega-\Omega_0)+\delta(\Omega+\Omega_0)]\)?

\(\displaystyle x(t)=\frac{\alpha}{2\pi}e^{j\Omega_0 t}\)
e
\(\displaystyle x(t)=\frac{\beta}{2\pi}\big(e^{j\Omega_0 t}+e^{-j\Omega_0 t}\big)=\frac{\beta}{\pi}\cos(\Omega_0 t)\).

Explicação:
Pela fórmula inversa \(x(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega\), a delta deslocada seleciona o exponencial em \(\Omega_0\): \( \dfrac{1}{2\pi}\alpha e^{j\Omega_0 t}\).
Para um par simétrico somam-se as exponenciais conjugadas, resultando em cosseno pelo relacionamento \(e^{j\theta}+e^{-j\theta}=2\cos\theta\).

Exemplo:
Seja \(X(\Omega)=4\pi\delta(\Omega-1)+\pi[\delta(\Omega-2)+\delta(\Omega+2)]\).
Primeiro termo: \(\dfrac{4\pi}{2\pi}e^{j1t}=2e^{jt}\).
Segundo termo: \(\dfrac{\pi}{2\pi}\big(e^{j2t}+e^{-j2t}\big)=\cos(2t)\).
Assim \(x(t)=2e^{jt}+\cos(2t)\).