O que representa \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) e que regra usar se \(f\) é produto de duas funções?

É a derivada \(f'(a)\); aplicar a regra do produto se \(f(x)=u(x)v(x)\).

Explicação:
Por definição, \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\).
Se \(f(x)=u(x)v(x)\), então
\(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\), que é a regra do produto.

Exemplo:
Considere \(f(x)=x^2\sin x\).
Temos \(u(x)=x^2,\;v(x)=\sin x\).
\(u'(x)=2x,\;v'(x)=\cos x\).
Assim \(f'(x)=2x\sin x + x^2\cos x\).
Logo \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)=2\sin 1+\cos 1\).