Qual é a derivada de \(f(x)=\sqrt{u(x)}\) em termos de \(u(x)\) e \(u'(x)\)?

\(f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\)

Aplicando a regra da cadeia a \(f(x)=(u(x))^{1/2}\): \(f'(x)=\tfrac12(u(x))^{-1/2}\cdot u'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\).

Exemplo:
Se \(u(x)=4x^3+1\) então \(u'(x)=12x^2\).
Portanto \(f'(x)=\dfrac{12x^2}{2\sqrt{4x^3+1}}=\dfrac{6x^2}{\sqrt{4x^3+1}}\).
Em \(x=1\): \(f'(1)=\dfrac{6}{\sqrt{5}}\).