Se u e v são vetores unitários e (αu+βv) é ortogonal a (γu+δv), como expressar \(u\cdot v\) em função de α, β, γ, δ?

Resposta

\(u\cdot v=-\dfrac{\alpha\gamma+\beta\delta}{\alpha\delta+\beta\gamma}\)

Da ortogonalidade: \((\alpha u+\beta v)\cdot(\gamma u+\delta v)=0\).
Expandindo e usando \(\|u\|^2=\|v\|^2=1\): \(\alpha\gamma+(\alpha\delta+\beta\gamma)(u\cdot v)+\beta\delta=0\).
Isolando \(u\cdot v\) obtém-se a fórmula acima.

exemplo:
Se \(\alpha=2,\ \beta=1,\ \gamma=1,\ \delta=3\):
\(u\cdot v=-\dfrac{2\cdot1+1\cdot3}{2\cdot3+1\cdot1}=-\dfrac{5}{7}.\)