Flashcard FC241261
Como se resolve, por separação de variáveis, uma EDO da forma \(y' = p(x)\,y\) para obter a solução geral?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Como se resolve, por separação de variáveis, uma EDO da forma \(y' = p(x)\,y\) para obter a solução geral?
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Resposta
Separando e integrando: \( \dfrac{dy}{y}=p(x)\,dx\)Logo \(\ln|y|=\displaystyle\int p(x)\,dx + C\) e, portanto, \(y=C e^{\displaystyle\int p(x)\,dx}\).
Explicação:
1) Reconhecer que a equação é separável e pode escrever-se em termos de \(y\) a um lado e \(x\) ao outro.
2) Integrar ambos os lados: \(\int \dfrac{dy}{y}=\int p(x)\,dx\).
3) Exponenciar para obter a solução geral \(y=C e^{\int p(x)\,dx}\).
Exemplo:
Considere \(y' = 3x^2 y\). Separe: \(\dfrac{dy}{y}=3x^2\,dx\).
Integre: \(\ln|y|=\int 3x^2\,dx = x^3 + C\).
Logo \(y = C e^{x^3}\).
Com condição \(y(0)=5\) obtém-se \(5 = C e^0\), então \(C=5\) e \(y=5e^{x^3}\).
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