Como se obtém a equação linear que define a imagem (subespaço) de uma transformação linear R^3→R^3 a partir das componentes de saída?

Obter relações lineares entre as componentes de saída; essa igualdade define a equação do subespaço.

Explicação:
Se as componentes da imagem são \(x',y',z'\) expressas em função de \(x,y,z\), elimina-se as variáveis originais encontrando uma relação linear entre \(x',y',z'\). Essa relação é a equação do plano (subespaço de dimensão 2) que é a imagem.

Exemplo:
Se a transformação tem matriz \(M=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&1\\1&3&1\end{pmatrix}\), então
\(x'=x+2y,\quad y'=y+z,\quad z'=x+3y+z\).
Calcule
\(z'-x'-y'=(x+3y+z)-(x+2y)-(y+z)=0\),
logo a imagem é \(\{(x',y',z')\in\mathbb{R}^3:\;x'+y'-z'=0\}\), um plano passando pela origem.