Flashcard FC241266
Como as raízes da equação característica r^2+pr+q=0 determinam as soluções fundamentais de y''+py'+qy=0 (p,q reais)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Como as raízes da equação característica r^2+pr+q=0 determinam as soluções fundamentais de y''+py'+qy=0 (p,q reais)?
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Resposta
Raiz real r ⇒ e^{rx}; raízes complexas α±iβ ⇒ e^{αx}\cos(βx) e e^{αx}\sin(βx).Para uma EDO linear homogênea de 2ª ordem, se \(r_1,r_2\) são as raízes de \(r^2+pr+q=0\) então as soluções fundamentais são \(e^{r_1x}\) e \(e^{r_2x}\).
Como \(p,q\) são reais, raízes complexas aparecem em conjugados \(\alpha\pm i\beta\), produzindo as soluções reais \(e^{\alpha x}\cos(\beta x)\) e \(e^{\alpha x}\sin(\beta x)\).
Além disso \(p=-(r_1+r_2)\) e \(q=r_1r_2\).
Exemplo:
1) Raízes reais \(r_1=2,\;r_2=-3\): \(p=-(2-3)=1,\;q=2(-3)=-6\).
Equação: \(y''+y'-6y=0\) → soluções \(e^{2x},\;e^{-3x}\).
2) Raízes complexas \(\alpha=-1,\;\beta=2\) (ou seja \(-1\pm 2i\)): \(p=-2\alpha=2,\;q=\alpha^2+\beta^2=5\).
Equação: \(y''+2y'+5y=0\) → soluções \(e^{-x}\cos(2x),\;e^{-x}\sin(2x)\).
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