Flashcard FC241269
Qual é o fator pelo qual uma transformação linear T(x)=Ax escala a área de uma figura plana?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Qual é o fator pelo qual uma transformação linear T(x)=Ax escala a área de uma figura plana?
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Resposta
|det(A)|Explicação:
A área da imagem de uma região S pela transformação linear \(T(x)=Ax\) é dada por \( \text{Área}(T(S))=|\det(A)|\cdot\text{Área}(S)\).
Exemplo:
Considere o triângulo com vértices \((0,0),(1,0),(0,1)\) (área \(1/2\)). Seja \(A=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}\).
Calcula-se \(\det(A)=3\cdot4-2\cdot1=10\).
Logo a área transformada é \(10\cdot\frac{1}{2}=5\).
Verificação via vértices: \(A(1,0)=(3,1)\), \(A(0,1)=(2,4)\). A área é \(\dfrac{|\det\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}|}{2}=\dfrac{10}{2}=5\).
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