Como se determina a dimensão de um subespaço de R^n definido por equações lineares?

Resposta

É o número de variáveis livres ao resolver o sistema (ou dim = n − posto das equações).

Procedimento:
1) Escreva as equações que definem o subespaço.
2) Resolva por eliminação linear ou calcule o posto para achar variáveis pivô e variáveis livres.
3) A dimensão é o número de variáveis livres.

Exemplo:
Em \( \mathbb{R}^5 \), considere as restrições \(x_1+x_2=0\) e \(x_3-2x_4+x_5=0\).
Da primeira: \(x_1=-x_2\). Da segunda: \(x_3=2x_4-x_5\).
Logo qualquer vetor do subespaço tem forma \(( -x_2,x_2,2x_4-x_5,x_4,x_5 )\).
Em combinação linear:
\(( -x_2,x_2,2x_4-x_5,x_4,x_5)=x_2(-1,1,0,0,0)+x_4(0,0,2,1,0)+x_5(0,0,-1,0,1).\)
Há 3 variáveis livres \((x_2,x_4,x_5)\), portanto dimensão = 3.