Flashcard FC241272
Como se resolve uma equação diferencial de variáveis separáveis e como se usa uma condição inicial para determinar a constante?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Como se resolve uma equação diferencial de variáveis separáveis e como se usa uma condição inicial para determinar a constante?
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Resposta
Separar variáveis, integrar ambos os lados e aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.Passos:
1) Escrever como \( \dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)\) e rearranjar para \( \dfrac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx\).
2) Integrar: \(\displaystyle \int \dfrac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx \Rightarrow F(y)=G(x)+C\).
3) Isolar \(y\) quando possível e usar \(y(x_0)=y_0\) para achar \(C\).
Exemplo:
Considere \(\dfrac{dy}{dx}=-x\,y^{3}\) com \(y(0)=1\).
Separando: \(\displaystyle \dfrac{dy}{y^{3}}=-x\,dx\).
Integrando: \(\displaystyle \int y^{-3}dy=\int -x\,dx \Rightarrow -\dfrac{1}{2y^{2}}=-\dfrac{x^{2}}{2}+C\).
Rearranjando: \(\displaystyle \dfrac{1}{y^{2}}=x^{2}+C'\), logo \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+C'}}\).
Usando \(y(0)=1\): \(1=\dfrac{1}{\sqrt{C'}}\Rightarrow C'=1\).
Assim \(y(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\) (por exemplo, \(y(1)=1/\sqrt{2}\)).
Veja como foi cobrado:
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