Como usar a derivada para determinar extremos quando o denominador da derivada é sempre positivo?

Iguale o numerador da derivada a zero e verifique a troca de sinal; com denominador sempre positivo, o sinal da derivada é o do numerador.

Explicação:
Calcule \(f'(x)\) e escreva-o como \(\dfrac{N(x)}{D(x)}\) com \(D(x)>0\).
Resolva \(N(x)=0\) para obter pontos críticos e analise o sinal de \(N(x)\) à esquerda e à direita de cada ponto; uma mudança de + para − indica máximo, − para + indica mínimo.

Exemplo:
Considere \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+4}\).
Calcule: \(f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^2+4)-x\cdot 2x}{(x^2+4)^2}=\dfrac{4-x^2}{(x^2+4)^2}\).
Como \((x^2+4)^2>0\), iguale o numerador: \(4-x^2=0\Rightarrow x=\pm2\).
Para \(|x|<2\) temos \(4-x^2>0\) (função crescente); para \(|x|>2\) temos \(4-x^2<0\) (decrescente). Logo, \(x=2\) é ponto de máximo e \(f(2)=\dfrac{2}{2^2+4}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}.\)