Como aplicar integração por partes para calcular \(\displaystyle\int (\ln x)\,x^{m}\,dx\) (com \(m\neq-1\))?

Resposta

Escolha u = \ln x e dv = x^{m}dx; então du = dx/x e v = x^{m+1}/(m+1). Assim
\( \displaystyle \int \ln x\,x^{m}dx = \frac{x^{m+1}}{m+1}\ln x - \frac{1}{m+1}\int x^{m}dx.\)

Exemplo:
Calcular \( \displaystyle \int \ln x\;x\,dx\).
Escolhe-se \(u=\ln x,\;dv=x\,dx\Rightarrow du=\frac{dx}{x},\;v=\frac{x^{2}}{2}.\)
Então
\( \displaystyle \int \ln x\;x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\int\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}+C.\)