Flashcard FC241277
Qual é a fórmula para a soma dos cubos dos n primeiros números inteiros?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Qual é a fórmula para a soma dos cubos dos n primeiros números inteiros?
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Resposta
\(\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2\)Essa identidade expressa a soma dos cubos como um quadrado de polinômio em \(n\), facilitando simplificações e cálculo de limites ao dividir por potências de \(n\).
Exemplo:
\(\sum_{k=1}^{2n} k^3 = \left(\dfrac{2n(2n+1)}{2}\right)^2 = \big(n(2n+1)\big)^2 = n^2(2n+1)^2\)
Dividindo por \(n^4\):\(\displaystyle \frac{\sum_{k=1}^{2n} k^3}{n^4}=\frac{n^2(2n+1)^2}{n^4}=\left(\frac{2n+1}{n}\right)^2\to 4\) as \(n\to\infty\).
Veja como foi cobrado:
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