Como usar a dependência linear para obter os coeficientes de uma combinação linear entre vetores?

Se os vetores são linearmente dependentes, existe uma combinação linear não-trivial; encontra-se os coeficientes resolvendo o sistema obtido pelas coordenadas.

Explicação:
Suponha que um vetor seja combinação dos outros: \(v_3=c_1v_1+c_2v_2\).
Escreva as equações coordenada a coordenada e resolva o sistema para \(c_1,c_2\).
Se houver um parâmetro (como \(k\)) em \(v_3\), ele será determinado pela equação da coordenada restante após achar \(c_1,c_2\).

Exemplo:
\(v_1=(1,1,0),\;v_2=(2,0,1),\;v_3=(5,3,k)\).
Assuma \(v_3=c_1v_1+c_2v_2\). Então
\(\begin{cases}5=c_1+2c_2\\[4pt]3=c_1\\[4pt]k=0\cdot c_1+1\cdot c_2\end{cases}\)
De \(3=c_1\) vem \(c_1=3\). Substituindo em \(5=c_1+2c_2\) dá \(5=3+2c_2\Rightarrow c_2=1\).
Logo \(k=c_2=1\).