Flashcard FC241281
Como usar que um vetor pertence ao núcleo e as imagens de vetores que completam uma base para calcular \(A\) de um vetor qualquer?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2010
Como usar que um vetor pertence ao núcleo e as imagens de vetores que completam uma base para calcular \(A\) de um vetor qualquer?
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Resposta
Expressar o vetor na base que inclui o vetor do núcleo e aplicar linearidade, lembrando que \(A(v)=0\).Se \(v\in\ker(A)\) e \(\{w_1,\dots,w_k\}\) é um conjunto que, junto com \(v\), forma uma base do domínio, escreva qualquer \(u\) como \(u=a_1w_1+\cdots+a_kw_k+c\,v\).
Então \(A(u)=a_1A(w_1)+\cdots+a_kA(w_k)+cA(v)=a_1A(w_1)+\cdots+a_kA(w_k)\), pois \(A(v)=0\).
Exemplo:
Considere \(A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) com \(v=(0,0,1)\in\ker(A)\). Complete para a base do domínio com \(e_1=(1,0,0)\), \(e_2=(0,1,0)\) e suponha \(A(e_1)=(1,1)\), \(A(e_2)=(2,0)\).
Para \(u=(4,3,5)\) temos \(u=4e_1+3e_2+5v\).
Logo \(A(u)=4A(e_1)+3A(e_2)+5A(v)=4(1,1)+3(2,0)+5(0,0)=(10,4)\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/236097
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