Se a matriz Hessiana H(x) de uma função duas vezes diferenciável é semidefinida positiva para todo x em um domínio convexo, como se classifica a função?

Convexa.

Justificativa:
Se f é duas vezes diferenciável e para todo x vale H(x) ≽ 0, então para qualquer direção v tem‑se \(v^T H(x) v \ge 0\).
Pela expansão de Taylor de segunda ordem, \(f(x+v)=f(x)+\nabla f(x)^T v+\tfrac12 v^T H(\xi) v\), o termo quadrático é não negativo, o que impede que f "curve para baixo" e implica a propriedade do plano tangente \(f(y)\ge f(x)+\nabla f(x)^T(y-x)\), caracterizando a convexidade.

Exemplo:
Considere \(f(x,y)=x^2\).
A Hessiana é \(H=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}\), que é semidefinida positiva, pois para qualquer \(v=(v_1,v_2)\) temos \(v^T H v=2v_1^2\ge 0\).
Portanto, \(f\) é convexa em \(\mathbb{R}^2\).