Como se determinam o sinal das variáveis duais e o tipo das restrições do dual a partir das restrições e variáveis do primal?

Resposta: Atribui-se uma variável dual a cada restrição do primal; igualdade → dual livre, ≤ → dual ≥0, ≥ → dual ≤0. As restrições do dual vêm das colunas (matriz transposta) e o sentido é definido pelo sinal da variável primal: x_j ≥0 → desigualdade (≤/≥) no dual; x_j livre → igualdade.

Explicação e exemplo:
Formação geral:
• Cada restrição i do primal gera y_i com sinal conforme o tipo da restrição: igualdade ⇒ y_i livre, ≤ ⇒ y_i ≥ 0, ≥ ⇒ y_i ≤ 0.
• O coeficiente objetivo do dual é o lado-direito b_i do primal (Maximização se primal é Min).
• Para cada variável primal x_j, a restrição j do dual é obtida pela j-ésima coluna da matriz (transposta).
• Se x_j ≥ 0 ⇒ a j-ésima restrição do dual é uma desigualdade (direção depende do problema); se x_j livre ⇒ igualdade.

Exemplo:
Considere o primal (Min):
\( \min\;4x_1+2x_2 \)
s.r.
\( x_1+2x_2 \le 10 \) (gera \(y_1\ge0\))
\( -x_1+x_2 = 3 \) (gera \(y_2\) livre)
\( x_1 \in \mathbb{R}\) (livre), \(x_2\ge0\).

Formando o dual:
• Objetivo: \( \max\;10y_1+3y_2 \) (coeficientes = lados diretos).
• Restrições (colunas transpostas):
- Para \(x_1\) (livre) ⇒ igualdade: \(1\cdot y_1 + (-1)\cdot y_2 = 4\) (coef. objet. de x_1)
- Para \(x_2\) (≥0) ⇒ desigualdade (≤): \(2\cdot y_1 + 1\cdot y_2 \le 2\).
• Sinais: \(y_1\ge0,\; y_2\in\mathbb{R}.\)

Assim o dual é:
\( \max\;10y_1+3y_2 \)
s.r.
\( y_1 - y_2 = 4 \)
\( 2y_1 + y_2 \le 2 \)
\( y_1\ge0,\; y_2\in\mathbb{R}.\)