Qual a condição de primeira ordem, em termos de derivadas direcionais, que caracteriza um ponto crítico em um problema bicritério irrestrito?

Para todo \( \lambda\in\mathbb{R}^n\) existe j∈{1,2} tal que \( \nabla f_j(x^*)^\top \lambda \ge 0\).

Explicação:
Isso significa que não existe nenhum vetor direção \( \lambda\) que torne simultaneamente negativas as derivadas direcionais dos dois objetivos; ou seja, não há direção de descida comum que reduza os dois critérios ao mesmo tempo.

Exemplo:
Considere um caso em dimensão 1 com \(f_1(x)=x\) e \(f_2(x)=-x\).
Temos \(f_1'(x)=1\) e \(f_2'(x)=-1\). Para qualquer \( \lambda\in\mathbb{R}\) vale:
\(1\cdot\lambda \ge 0\) ou \((-1)\cdot\lambda \ge 0\).
Logo, não existe \( \lambda\) que faça ambas as derivadas direcionais negativas simultaneamente, portanto todo ponto é crítico segundo a condição dada.