Como usar logaritmos para achar o menor número inteiro de períodos t em que o montante de uma aplicação com taxa i2 ultrapassa o de outra com taxa i1 no regime de juros compostos?

Procedimento: Igualar os montantes e obter a desigualdade \( \left(\dfrac{1+i_2}{1+i_1}\right)^t>\dfrac{P_1}{P_2}\); aplicar logaritmo e resolver para \(t\); tomar o menor inteiro estrito que satisfaça a desigualdade.

Exemplo:
Suponha \(P_1=180\), \(i_1=5\%\) e \(P_2=120\), \(i_2=9\%\).
Montantes: \(M_1=180(1{.}05)^t,\;M_2=120(1{.}09)^t\). Queremos \(120(1{.}09)^t>180(1{.}05)^t\).
Logo \(\left(\dfrac{1{.}09}{1{.}05}\right)^t>\dfrac{180}{120}=\dfrac{3}{2}\).
Aplicando logaritmo natural: \(t>\dfrac{\ln(3/2)}{\ln(1{.}09)-\ln(1{.}05)}\).
Calculando: \(\ln(3/2)\approx0{.}405465,\;\ln(1{.}09)-\ln(1{.}05)\approx0{.}037388\).
Assim \(t>0{.}405465/0{.}037388\approx10{.}84\).
Portanto, o menor número inteiro de períodos é 11 anos.