Que substituição e passo algébrico se usa para transformar uma soma de termos com (1+i)^{-k} em uma equação polinomial para resolver i?

Usa‑se a substituição x=1+i e multiplica‑se por x^n (onde n é o maior expoente) para eliminar denominadores; resolve‑se o polinómio em x e obtém‑se i = x − 1, escolhendo a raiz que fornece taxa não negativa.

Exemplo:
Se \(A=250\) é o valor presente de duas parcelas: 100 em 1 mês e 200 em 2 meses, então
\(A=\dfrac{100}{1+i}+\dfrac{200}{(1+i)^2}\)
Faça \(x=1+i\) e multiplique por \(x^2\):
\(250x^2=100x+200\)
ou \(250x^2-100x-200=0\)
Discriminante: \(\Delta=(-100)^2-4\cdot250\cdot(-200)=10000+200000=210000\)
\(\sqrt{\Delta}\approx458{,}258\) então
\(x=\dfrac{100\pm458{,}258}{500}\). A raiz positiva é \(x\approx1{,}116516\), logo
\(i=x-1\approx0{,}116516\) (ou seja, \(\approx11{,}65\%\) ao mês).