Em um financiamento pelo Sistema Price com 2n prestações e taxa mensal i, como expressar a fração da dívida amortizada após n pagamentos em função de (1+i)^n?

1/(1+(1+i)^n)

Explicação:
As amortizações formam uma PG de razão \(1+i\). Se \(S_1\) é a soma das primeiras \(n\) amortizações e \(S_2\) a soma das últimas \(n\), então \(S_2=(1+i)^nS_1\). A dívida total amortizada é \(N=S_1+S_2=S_1(1+(1+i)^n)\). Logo a fração amortizada após \(n\) pagamentos é \(S_1/N=1/(1+(1+i)^n)\).

exemplo:
Considere 24 prestações (2n=24 → n=12) e \(i=1\%\) ao mês (\(i=0{,}01\)).
Cálculo de \( (1+i)^n \): \( (1{,}01)^{12}\approx 1{,}126825\).
Fração amortizada após 12 pagamentos: \( \dfrac{1}{1+1{,}126825}=\dfrac{1}{2{,}126825}\approx 0{,}4703\) → aproximadamente 47,03%.