O que garante que a TIR de um fluxo convencional seja única e não negativa?

Resposta

Porque: em fluxos com única troca de sinal o VPL(r) é contínuo e estritamente decrescente, com VPL(0)>0 e lim r→∞ VPL(r)<0, logo existe um único r>0 tal que VPL(r)=0.

Explicação e exemplo
Considere um fluxo com saídas iniciais e entradas posteriores — um fluxo convencional. Então \(VPL(r)\) é função contínua de r e, por ter só uma troca de sinal, seus termos levam a VPL decrescente.
Se \(VPL(0)=\) soma das entradas − soma das saídas \(>0\) e \(\lim_{r\to\infty}VPL(r) =\) −(soma das saídas) \(<0\), pelo Teorema do Valor Intermediário existe um r>0 tal que \(VPL(r)=0\). A monotonicidade garante que esse r é único.

exemplo:
Fluxo: \(C_0=-100,\;C_1=-50,\;C_3=+300\).
\(VPL(r)=-100-\dfrac{50}{1+r}+\dfrac{300}{(1+r)^3}.\)
\(VPL(0)=-100-50+300=150>0.\)
\(\lim_{r\to\infty}VPL(r)=-100<0.\)
Como \(VPL(r)\) é contínuo e estritamente decrescente, existe único \(r>0\) com \(VPL(r)=0\).
Teste rápido: \(VPL(0{.}10)\approx79{.}94>0,\;VPL(0{.}30)\approx-1{.}88<0\) ⇒ TIR ≈ 29–30% (única e positiva).