Se um quadrado superior for par, qual a paridade obrigatória dos dois quadrados imediatamente abaixo e como usar a contagem de pares/ímpares para checar se essa opção é viável?

Os dois abaixo têm a mesma paridade; use a contagem de pares/ímpares disponíveis para ver se há elementos suficientes para preencher as demais casas.

Explicação:
Pela regra, um quadrado acima é par quando os dois vizinhos abaixo têm mesma paridade. Assim, se o quadrado superior é par, os dois imediatamente abaixo devem ter mesma paridade. Para decidir se são pares ou ímpares, conte quantos pares e ímpares restam no conjunto de números e verifique se é possível preencher os demais quadrados com eles.

Exemplo:
Considere os números 1 a 6 (pares = 2,4,6 → 3; ímpares = 1,3,5 → 3). Suponha o topo = 4 (par).
Se os dois abaixo fossem ímpares, usaríamos 2 ímpares, ficando apenas 1 ímpar para preencher 3 casas da base → impossível.
Portanto, os dois abaixo devem ser pares (usando os dois pares restantes), e os três da base serão os ímpares.