Quando "que" deve ser classificado como preposição ao ligar um verbo ao infinitivo?

Resposta

Quando liga lexicalmente o verbo principal ao infinitivo, não introduz oração subordinada, e pode ser substituído por de.

Critério: se o termo após que é um verbo no infinitivo que completa o sentido do verbo principal (expressando obrigação, necessidade, etc.) e a troca por de preserva o sentido, então que funciona como preposição que rege o infinitivo.
Não há oração subordinada nem referência anafórica nesse caso, diferindo de conjunções ou pronomes relativos.

Exemplo:
Ela tem que resolver o problema hoje. → substitui por → Ela tem de resolver o problema hoje.
Aqui, que atua como preposição que rege o infinitivo resolver.