Quais classes de contas se dividem em ativas/passivas e em receitas/despesas, e qual delas pode ser escriturada pelo regime de competência ou de caixa?

Contas patrimoniais = ativas e passivas.
Contas de resultado = receitas e despesas; são as que podem ser escrituradas pelo regime de competência ou pelo regime de caixa.

Explicação:
As contas patrimoniais representam bens, direitos e obrigações (ativo e passivo/patrimônio líquido).
As contas de resultado registram variações do patrimônio por receitas e despesas ao longo do período e são reconhecidas segundo o regime adotado (competência ou caixa).

Exemplo:
Prestação de serviço de R$ 1.200,00 realizada em 31/12, recebida em 15/01 do ano seguinte.

No regime de competência: reconhece-se a receita na data do fato gerador (31/12):
  Débito: Clientes (Ativo) R$ 1.200,00
  Crédito: Receita de serviços (Resultado) R$ 1.200,00

No regime de caixa: reconhece-se a receita apenas quando o dinheiro entra (15/01):
  Débito: Caixa (Ativo) R$ 1.200,00
  Crédito: Receita de serviços (Resultado) R$ 1.200,00

Assim, a classificação (ativas/passivas vs receitas/despesas) e a aplicação dos regimes explicam por que a assertiva sobre escrituração por competência ou caixa se refere às contas de resultado.